Question

已知，抛物线y=-1/2x的平方+3/2x+2交x轴与A,B两点，交y轴于C点，已知在第四象限抛物

已知，抛物线y=-1/2x的平方+3/2x+2交x轴与A,B两点，交y轴于C点，已知在第四象限抛物线上有一点D，连C,D交x轴于E点，已知S△AEC=S△BED,求CD的函数解析式。 （E点坐标它没有告诉。）

Answer 1

郭敦顒回答：
抛物线y=－（1/2）x 2+（3/2）x+2交x轴与A,B两点，交y轴于C点，已知在第四象限抛物线上有一点D，连C,D交x轴于E点，已知S△AEC=S△BED,求CD的函数解析式。
当y=0时，－（1/2）x 2+（3/2）x+2=0，
∴x2－3x－4=0，（x+1）（x－4）=0，x1=－1，x2=3
A点坐标为A（－1，0），B点坐标为B（4，0），AB=4+1=5，
当x=0时，y=2，C点坐标为C（0，2），
设E点坐标为E（a，0），则AE=a+1， BE=4－a
又设D点坐标为D（x1，y1），则△BED的BE边上的高为|y1|，
于是，
S△AEC=2（a+1）/2= a+1，
S△BED,=（4－a）|y1|/2=（a－4）y1/2
a+1=（a－4）y1/2 （1）
CD的斜率k=－2/a=y1/（x1－a）， （2）
y1=－（1/2）x1 2+（3/2）x1+2 （3）
下面的运算将x1与y1的下标省去，意义不变，
由（1），2a+2= ay－4y，（y－2）a=4y+2，a=（4y+2）/（y－2） （4）
由（2），ay=－2（x－a） （5）
（4）代入（5）得， y（4y+2）/（y－2）=－2x+2（4y+2）/（y－2）
y（4y+2）=－2x（y－2）+2（4y+2）
4y2+2y=－2xy+4x|8y|4
4y2+2xy－4x－6y－4=0
2y2+（x－3）y－2x－2=0 （6）
（3）代入（6）得，
2[－（1/2）x 2+（3/2）x+2] 2+（x－3）[－（1/2）x 2+（3/2）x+2] －2x－2=0
x4+9x2+16－6x3+24x－8x2－x3+3x2+4x+3x2－9x－12－4x－4=0
x4－6x3－x3+9x2－8x2 +3x2+3x2+24x+4x－9x－4x +16－12－4=0
x 4－7x3 +7x 2+15x=0
x 3－7x 2+ 7x+15=0
（x－5）（x－3）（x+1）=0，
∴x=5（另有两增根），
y=－（1/2）x 2+（3/2）x+2=－3
∴D点坐标为D（5，－3）
CD的直线方程按两点式有，（y+3）/（x－5）=（－3－2）/（5－0）=－1
y+3=－x+5，y=－x+2，
∴CD的函数解析式是：y=－x+2。
检验k=－2/a=－1， a=2，
AE=a+1=3， BE=4－2=2
S△AEC=2（a+1）/2= a+1=3，
S△BED,=（4－a）|y1|/2=（2－4）|－3|/2=3，S△AEC=S△BED，
正确定。

追问

请问一下CD的斜率k=y1/(x1-a)是为什么？

哦，我知道了，不用了

非常感谢！

追答

郭敦顒继续回答：
能帮助你，我感到高兴，不必客气。