设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0...
设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)求证f(x)是奇函数;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(1)...
设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0. (1)求证f(x)是奇函数; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(1)=-2,试问在-3≤x≤3,f(x)是否有最值?如果有,求出最值,如果没有,说出理由. _____
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(1)∵对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴取y=0,得f(x+0)=f(x)+f(0)⇒f(0)=0
再令y=-x,得f[x+(-x)]=f(0)=0
∵f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
∴f(-x)=-f(x),函数f(x)是R上的奇函数;
(2)设x1<x2,得x2-x1>0
∵当x>0时,f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
∴f(x2-x1)=f(-x1+x2)=f(-x1)+f(x2)<0
∴-f(x1)+f(x2)<0⇒f(x1)>f(x2)
由函数单调性的定义,可得f(x)是R上的减函数;
(3)∵f(1)=-2,
∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6
∵函数f(x)是R上的奇函数
∴f(-3)=-f(3)=6
∵f(x)是R上的减函数
∴当-3≤x≤3时,f(3)≤f(x)≤f(-3),即-6≤f(x)≤6,
因此f(x)是有最大值为f(-3)=6,最小值为f(3)=-6.
∴取y=0,得f(x+0)=f(x)+f(0)⇒f(0)=0
再令y=-x,得f[x+(-x)]=f(0)=0
∵f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
∴f(-x)=-f(x),函数f(x)是R上的奇函数;
(2)设x1<x2,得x2-x1>0
∵当x>0时,f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
∴f(x2-x1)=f(-x1+x2)=f(-x1)+f(x2)<0
∴-f(x1)+f(x2)<0⇒f(x1)>f(x2)
由函数单调性的定义,可得f(x)是R上的减函数;
(3)∵f(1)=-2,
∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6
∵函数f(x)是R上的奇函数
∴f(-3)=-f(3)=6
∵f(x)是R上的减函数
∴当-3≤x≤3时,f(3)≤f(x)≤f(-3),即-6≤f(x)≤6,
因此f(x)是有最大值为f(-3)=6,最小值为f(3)=-6.
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