Question

1.已知2f(1/x)+f(x)=x,x≠0，求f(x)

2.若f(1/x)=x/ 2-x,求f(x)(里面的是x分之一和2-x分之x)

Answer 1

1解:令x=a，则2f(1/a)+f(a)=a…………①;
令x=1/a，则2f(a)+f(1/a)=1/a…………②;
②-①*2得:3f(a)=(2-a²)/a,则f(a)=(2-a²)/(3*a);
所以f(x)=(2-x²)/(3*x)。
2解:令1/x=t(其中t≠0),则x=1/t…………⑴;
将⑴代入f(1/x)=x/(2-x)得:
f(t)=(1/t)/(2-(1/t))…………对分母进行通分，分子保持不变
=(1/t)/((2t-1)/t)…………分子分母同时乘以t(t≠0)
=1/(2t-1)
f(t)=1/(2t-1),t≠1/2和0
(已知中分母出现2-x知x≠2，即t≠1/2)
所以f(x)=1/(2x-1),x≠1/2和0
这两题都是典型的换元法解题，要注意两点:
1、第一题换元的目的是消元，将f(1/x)、f(x)看成两个未知数，换元之后得到两个式子组成二元一次方程组，解出f(x)即的到答案;
2、第二题要注意解完题目之后要写出定义域，凡是求函数f(x)的表达式的题目都要写出定义域才是完整的表达式。