Question

一道高中数学数列题

已知数列{an}的各项都是正数,且满足a0=1,an+1(n+1是a的角标）=1/2an(4-an)

1.证明an<an+1（n+1是a的角标）<2 ， n属于N
2.求数列an通项公式

Answer 1

因为第一问要用an和2做比较，所以等号两边同时减2，配方后即有
a(n+1)-2=-(an-2)^2/2，即
2-a(n+1)=(2-an)^2/2=(2-a(n-1))^4/4=…=(2-a0)^(2^(n+1))/(2^(n+1))=(1/2)^(n+1)
所以先求得an的通项公式为an=2-(1/2)^n
再证明第一问就非常容易了，因为a(n+1)-an=(1/2)^(n+1)>0，所以a(n+1)>an
又因为a(n+1)=2-(1/2)^(n+1)<2，所以a(n+1)<2.

Answer 2

1.因为a1=3/2<2,设an<2,an+1=1/2(4an-(an)^2),求导数可得4an-(an)^2<=4,且只有取2的时候为4，（0，2）区间小于4，所以可得an+1<2，因为an+1-an=an+(1/2)(an)^2>an,所以1得证。
2。an=(-1+2^2n)/2^n

Answer 3

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