Question

已知函数f（x）=（ax 2 +x）e x ，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；（2

已知函数f（x）=（ax 2 +x）e x ，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；（2）当a=0时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+2在[t，t+1]上有解；（3）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）因为e x ＞0，所以不等式f（x）≤0即为ax 2 +x≤0， 又因为a＞0，所以不等式可化为 x(x+ 1 a )≤0 ，所以不等式f（x）≤0的解集为 [- 1 a ，0] ． （2）当a=0时，方程即为xe x =x+2，由于e x ＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于e x - 2 x -1=0， 令h（x）=e x - 2 x -1，因为h′（x）= e x + 2 x 2 ＞0 对于x≠0恒成立， 所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数， 又h（1）=e-3＜0，h（2）=e 2 -2＞0，h（-3）= e -3 - 1 3 ＜0，h（-2）=e -2 ＞0， 所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，所以整数t的所有值为{-3，1}． （3）f′（x）=[ax 2 +（2a+1）x+1]e x ， ①当a=0时，f′（x）=（x+1）e x ，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求； ②当a≠0时，令g（x）=ax 2 +（2a+1）x+1， 因为△=（2a+1） 2 -4a=4a 2 +1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x 1 ，x 2 ， 不妨设x 1 ＞x 2 ，因此f（x）有极大值又有极小值． 若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调． 若a＜0，可知x 1 ＞0＞x 2 ， 因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调， 因为g（0）=1＞0，所以必须满足 g(1)≥0 g(-1)≥0 ，即 3a+2≥0 -a≥0 ，所以 - 2 3 ≤a≤0． 综上可知，a的取值范围是[ - 2 3 ，0 ]．