Question

求解一道数列题 已知在数列{an}中,a₁=2,an+₁=an-In(n/n=1),an=?

已知在数列{an}中,a₁=2,an+₁=an-In(n/n=1),an=? 其中n,n-1是下标

Answer 1

1.证明：b(n+1)-bn=a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)
=(2an+2^n)/2^n-an/2^(n-1)
=(2an+2^n)/2^n-2an/2^n
=2^n/2^n
=1
因为1是常数，所以bn是等差数列
2.因为bn=an/2^(n-1),所以b1=a1/2(1-1)=1
所以bn=n
所以n=an/2^(n-1)
所以an=2^(n-1)×n
下面用错位相减求sn

Answer 2

∵an+₁=an-In[n/(n+1)]
∴a(n+1)-an=ln[(n+1)/n]=ln(n+1)-lnn
n≥2时，
a2-a1=ln2-
ln1
a3-a2=
ln3
-ln2
a4-a3=ln4-ln3
.......................
an-a(n-1)=lnn-ln(n-1)
将上面n-1个等式相加
an-a1=lnn
∴an=a1+lnn=2+lnn
当n=1时，上是仍成立
∴an=2+lnn