Question

如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°．点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位

如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°．点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式；（2）求出S的最大值；（3）t为何值时，以△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形是菱形？

Answer 1

解答：解：（1）①当0＜t≤2时，如图1，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=4

3

，
∴CP=t，S=

1

2

CP?BE＝

1

2

×4

3

t＝2

3

t
②当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

t，由勾股定理得：PF=

3

2

t，
S=

1

2

CQ×PF=

1

2

×（12-2t）×

3

2

t，
即S=-

3

2

t²+3

3

t．

（2）过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，
∵∠PCF=∠D=60°，
∴PF=

3

2

t，
∴S_△CPQ=-

3

2

t²+3

3

t=-

3

2

（t-3）²+

9 3

2

，
t=3时，S有最大值

9

2

3

．
综上，S的最大值为

9

2

3

；

（3）当0＜t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形．
当2＜t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴当t=4时，△CPQ为等腰三角形，
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．