Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求证：B1F⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角B1-AE-F的余弦值．

Answer 1

证明：（I）方法1：设G是AB的中点，连接DG，

∵D为B₁A的中点，
∴DG∥EC，且DG=

1

2

EC，
又∵E为C₁C的中点，
∴四边形DECG是平行四边形，
∴DE∥GC，
又∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
方法2：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．

由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，
可证A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，
∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC，
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁F⊥AF，
∵AB=AA₁=2，
∴B₁F=

6

，EF=

3

，B₁E=3，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥FE，
∵AF∩FE=F，
∴B₁F⊥平面AEF
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M，

∵B₁F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求FM=

10

5

，
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，
∴cos∠B₁MF=

6

6

，
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为

6

6

．