如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，（1）求直线BE与A1C...
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，（1）求直线BE与A1C所成的角的余弦值．（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明理由；（3）在（2）条件下，求二面角B-B1C-F的余弦值．
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（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AC=2a，∠ABC=90°，AB＝BC＝
a，
∴B（0，0，0），C（0，
a，0），A（
a，0，0），
A1（
a，0，3a），C1（0，
a，3a），B1（0，0，3a）．
∴D(
a，
a，3a)，E（0，
a，
a），
∴
=（
a，?
a，3a），
=（0，
a，
），
∴|
|=
a，|
|=
a，∴
?
=0-a2+
a2=
a2，
设直线BE与A1C所成的角为θ，
∴cosθ=|
∵AC=2a，∠ABC=90°，AB＝BC＝
| 2 |
∴B（0，0，0），C（0，
| 2 |
| 2 |
A1（
| 2 |
| 2 |
∴D(
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| CA1 |
| 2 |
| 2 |
| BE |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴|
| CA1 |
| 13 |
| BE |
| ||
| 2 |
| CA1 |
| BE |
| 9 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
设直线BE与A1C所成的角为θ，
∴cosθ=|
| ||||
|
|
