Question

已知函数f(x)＝loga1?mxx?1（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）

已知函数f(x)＝loga1?mxx?1（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝loga

1?mx

x?1

（a＞0，a≠1）是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及题设知：f(x)＝loga

x+1

x?1

，
设t＝

x+1

x?1

＝

x?1+2

x?1

＝1+

2

x?1

，
∴当x₁＞x₂＞1时，t1?t2＝

2

x1?1

?

2

x2?1

＝

2(x2?x1)

(x1?1)(x2?1)

∴t₁＜t₂．
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n＜a-2≤-1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知

loga 1+n n?1 ＝1 a?2＝?1

（无解）；
②当1≤n＜a-2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a-2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知

n＝1 loga a?1 a?3 ＝1

得a＝2+

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