Question

如图，设点A（x 0 ，y 0 ）为抛物线 y 2 = x 2 上位于第一象限内的一动点，点B（0，y 1 ）

如图，设点A（x 0 ，y 0 ）为抛物线 y 2 = x 2 上位于第一象限内的一动点，点B（0，y 1 ）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x 2 ，0）．（Ⅰ）试用x 0 表示y 1 ；（Ⅱ）试用x 0 表示x 2 ；（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

Answer 1

（Ⅰ） |OA|= x 20 + y 20 = x 20 + x 0 2 = 1 2 4 x 20 +2 x 0 ， ∴ y 1 =|OB|= 1 2 4 x 20 +2 x 0 ． （Ⅱ） k AB = y 1 - y 0 - x 0 ， = 1 2 4 x 20 +2 x 0 - x 0 2 - x 0 ， = 2 x 0 - 4 x 0 2 +2 x 0 2 x 0 ， 直线AB的方程为 y= 2 x 0 - 4 x 0 2 +2 x 0 2 x 0 x+ 1 2 4 x 0 2 +2 x 0 ， 令y=0，得 x 2 = 2 x 0 +1+ 2 x 0 +1 2 ． （Ⅲ） lim x→ 0 + x 2 = lim x→ 0 + 2 x 0 +1+ 2 x 0 +1 2 =1 ， 故当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标是（1，0）．