Question

已知角α，β为锐角，且cos（α+β）sinβ=sinα，则tanα的最大值是______

已知角α，β为锐角，且cos（α+β）sinβ=sinα，则tanα的最大值是______．

Answer 1

角α，β为锐角，且cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）-β]，
∴cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
化简可得 tan（α+β）=2tanβ，即

tanα+tanβ

1?tanαtanβ

=2tanβ，
故有 2tanα?tan²β-tanβ+tanα=0，∴△=1-8tan²α≥0，
求得-

2

4

≤tanα≤

2

4

，α为锐角，故0＜tanα≤

2

4

，
故答案为：

2

4

．

Answer 2

cos（α+β）sinβ=sinα
cos（α+β）sinβ=sin[（α+β）-β]
cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
2cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ
tan(α+β)=2tanβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=2tanβ
(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=2tanβ
tanα+tanβ=2tanβ-2tanα(tanβ)^2
2tanα(tanβ)^2-tanβ+tanα=0
把方程看为tanβ的一元二次方程
1－8(tanα)^2>=0
(tanα)^2<=1/8
-√2/4<=tanα<=√2/4
α，β为锐角
0<=tanα<=√2/4
tanα的最大值是:√2/4

Answer 3

首先，这是一个求极值的问题，所以需要够着一个函数，而且是关于tana的函数，函数如何构造，看给出的条件，你就可以发现，等式可以转化，根据三角函数之间的关系。自己多多思考，必有裨益，掌握一类题目嘘嘘自己多多总结。希望可以帮到你