Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）当x∈[1，2]时

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3；
①当2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-x²+6x-3，
当x=2时，f（x）_min=5；当x=3时，f（x）_max=6               （2分）
②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=x²-2x-3=（x-1）²-4，
当x=4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12               （4分）
综上可知，函数f（x）的最大值为12，最小值为5．            （6分）
（2）若x≥a，原不等式化为f（x）=x²-ax≤1，即a≥x-

1

x

在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≥（x-

1

x

）_max，即a≥

3

2

．                          （8分）
若x＜a，原不等式化为f（x）=-x²+ax≤1，即a≤x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≤（x-

1

x

）_min，即a≤2．                          （10分）
综上可知，a的取值范围为

3

2

≤a≤2．              （12分）
∴f（1）＜m＜f（0），即e＜m＜3．即实数m的取值范围是（e，3）（12分）