Question

已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．（1）试说明：∠EFD=12

已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．（1）试说明：∠EFD=12（∠C-∠B）；（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°-∠FEC，
∴∠FEC=∠B+∠BAE，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）
=90°-

1

2

（∠B+∠C），
则∠FEC=∠B+90°-

1

2

（∠B+∠C）
=90°+

1

2

（∠B-∠C），
则∠EFD=90°-[90°+

1

2

（∠B-∠C）]
=

1

2

（∠C-∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∴∠EFD=90°-[90°+

1

2

（∠B-∠C）]
=

1

2

（∠C-∠B）．