Question

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，0），B（1，0），C（0，4）（Ⅰ）若直线y=2x+b平分△ABC面积，求实

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，0），B（1，0），C（0，4）（Ⅰ）若直线y=2x+b平分△ABC面积，求实数b的值；（Ⅱ）若直线y=kx+b（k＞0）平分△ABC的面积，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设直线y=2x+b与△ABC的边AB、BC分别交于E、F，
点B到EF、AC的距离分别为d₁，d₂，∵k_AC=k_EF，∴AC∥EF，
S△EBF＝

1

2

S△ABC，∴

d1

d2

＝

1

2

，

|2+b| 5

|2+4| 5

＝

1

2

，整理得：|2+b|＝3

2

，
又b＞0，b＝3

2

?2；
（Ⅱ）分三种情况讨论：
①若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AB、BC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积：

取AB中点D，连CD，CE，过点D作DF∥CE，交BC于点F，
∵DF∥CE，∴S_△EDF=S_△CDF，∴有S_△EDF+S_△BDF=S_△CDF+S_△BDF
即S△EBF＝S