(2013?奉贤区一模)如图,已知直线y=x与二次函数y=x2+bx+c的图象交于点A、O,(O是坐标原点),点P为二

(2013?奉贤区一模)如图,已知直线y=x与二次函数y=x2+bx+c的图象交于点A、O,(O是坐标原点),点P为二次函数图象的顶点,OA=32,AP的中点为B.(1)... (2013?奉贤区一模)如图,已知直线y=x与二次函数y=x2+bx+c的图象交于点A、O,(O是坐标原点),点P为二次函数图象的顶点,OA=32,AP的中点为B.(1)求二次函数的解析式;(2)求线段OB的长;(3)若射线OB上存在点Q,使得△AOQ与△AOP相似,求点Q的坐标. 展开
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尛辰丶440
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(1)∵点A在直线y=x上,且OA=3
2

∴A点的坐标是(3,3,)
∵点O(0,0),A(3,3)在函数y=x2+bx+c的图象上,
0=c
9+3b+c=3

解得:
b=?2
c=0

故二次函数的解析式是y=x2-2x;

(2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴顶点P的坐标为(1,-1)
∴PO=
12+12
=
2
,AP=2
5

∴AO2+PO2=AP2
∴∠AOP=90°,
∴△AOP是直角三角形,
∵B为AP的中点,
∴OB=
5


(3)∵∠AOP=90°,B为AP的中点,
∴OB=AB,
∴∠AOB=∠OAB,
若△AOQ与△AOP相似,
则①△AOP∽△OQA时,
AO
OQ
AP
OA

∴OQ1=
9
5
5

②△AOP∽△OAQ时,
AO
OA
AP
OQ

∴OQ2=2
5

∵点P的坐标为(1,-1),A点的坐标是(3,3,),B为AP的中点,
∴B点的横坐标=
1+3
2
=2,纵坐标=
?1+3
2
=1,
∴B点的坐标为(2,1),
∴Q1
18
5
9
5
),Q2(4,2)
即点Q的坐标分别是Q1
18
5
9
5
),Q2(4,2).
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