Question

如图，直线l1：y=-x+1与两直线l2：y=2x，l3：y=x分别相交于M、N两点．设点P为x轴上的一点，过点P的直线l

如图，直线l1：y=-x+1与两直线l2：y=2x，l3：y=x分别相交于M、N两点．设点P为x轴上的一点，过点P的直线l：y=-x+b与直线l2、l3分别交于A、C两点，以线段AC为对角线作正方形ABCD．（1）写出正方形ABCD各顶点的坐标（用b表示）；（2）当点P从原点O出发，沿着x轴的正方向运动时，设正方形ABCD和△OMN重叠部分的面积为S，求S与b之间的函数关系式，并写出自变量b的取值范围．

Answer 1

（1）由

(2)y＝?x+b (3)y＝2x(4)

，（5分）
得

(6)x＝ 1 3 b (7)y＝ 2 3 b(8)

，（9分）
∴A(

1

3

b，

2

3

b)，
同理C(

1

2

b，

1

2

b)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC∥y轴，AD∥BC∥x轴，
可得B(

1

3

b，

1

2

b)，D(

1

2

b，

2

3

b)；（4分）

（2）当D在l₁（11）上时（如图1），b＝

6

7

（12），
当B在l₁（13）上时（如图2），b＝

6

5

；（6分）

当0＜b≤

6

7

时（如图1、3），直线l在直线l₁上或下方，点D在直线l₁上或下方，
∵正方形ABCD的边长AB＝|

1

2

b?

2

3

b|＝

1

6

b，
∴S＝

1

36

b2；（8分）
当

6

7

＜b＜1时（如图4），直线l在直线l₁下方，点D在直线l₁上方，
设DC与直线l₁交于点E，则E(

1

2

b，1?

1

2

b)DE＝|1?

1

2

b?

2

3

b|＝

7

6

b?1，
S＝

1

36

b2?

1

2

(

7

6

b?1)2＝?

47

72

b2+

7

6

b?

1

2

；（10分）
当1≤b＜

6

5

时，直线l在直线l₁上或上方，且点B在l₁下方，（如图5），若设AB与直线l₁交于点F，则F(

1

3

b，1?

1

3

b)，BF＝1?

5

6

b，
∴S＝

1

2

(1?

5

6

b)2＝

25

72

b2?

5

6

b+

1

2

；（12分）
当b≥

6

5

时，直线l在直线l₁上方，且点B在l₁上或上方（如图2），S=0．（14分）