设α为n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明A=E-2αα^T/(α^Tα)是可逆矩阵

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高粉答主

2019-10-01 · 说的都是干货,快来关注
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证明: 因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)

所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)

所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]

= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2

= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2

= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)

= E

所以A是正交矩阵

扩展资料

可逆矩阵的性质:


1、可逆矩阵一定是方阵。


2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。


3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。


4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)。


5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。


6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。


7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵

廖嫔然0Hn
2014-11-16 · 超过60用户采纳过TA的回答
知道答主
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证明: 因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]
= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)
= E
所以A是正交矩阵.
追问
证明A是可逆矩阵。
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