Question

在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB

在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连结OC，AD。 （1）求证：OC=AD；（2）求OC的长；（3）求过A、D两点的直线的解析式。

Answer 1

解：（1）∵△AOB是边长为2的等边三角形， ∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60° 又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的， ∴△DCB也是边长为2的等边三角形， ∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD 又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD ∴△OBC≌△ABD（SAS） ∴OC=AD（全等三角形的对应边相等）。 （2）作CF⊥OD交x轴于点F，则F为BD的中点， ∴BF=1 在Rt△BCF中，BC=2，BF=1， 由勾股定理得：CF 2 =BC 2 -BF 2 =4-1=3 CF= 在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3， 由勾股定理得：OC 2 =OF 2 +CF 2 =9+3=12 ∴OC= =2 。 （3）作AE⊥OB交x轴于点E，则E为OB的中点， ∴OE=1，AE=CF= ∴A点的坐标是（1， ）， 又OD=OB+BD=2+2=4 故D点的坐标是（4，0） 设过A、D两点的直线的解析式为y=kx+b，将A，D点的坐标代入得： 解得k=- ，b= ∴过A、D两点的直线的解析式为y=- x+ 。