Question

已知数列{a n }的前n项和S n 满足： S n = a a-1 ( a n -1) （其中a为常数且a≠0，a≠1

已知数列{a n }的前n项和S n 满足： S n = a a-1 ( a n -1) （其中a为常数且a≠0，a≠1，n∈N * ）（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =na n ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵ S n = a a-1 ( a n -1) ， ∴ S n+1 = a a-1 (a n+1 -1) ， 从而a n+1 =S n+1 -S n = a a-1 （a n+1 -a n ）， ∴a n+1 =a?a n ， 当n=1时，由 S n = a a-1 ( a n -1) ，得a 1 =a． ∴数列{a n }是以a为首项，a为公比的穗返等比数列，故 a n =a n ． （2）由洞碰（1）得 b n =n ?a n ， ∴ T n =a+2 a 2 +3 a 3 +…+n a n ， 从而aT n =a 2 +2a 3 +3a 4 +…+na n+1 ， 两式相减，得 (1-a) T n =a+ a 2 + a 3 +… +a n -na n+1 ， ∵a≠0，且a≠猜颤饥1， ∴ (1-a) T n = a(1- a n ) 1-a -n a n+1 = n a n+2 -(n+1) a n+1 +a 1-a ， 从而T n = n a n+2 -(n+1) a n+1 +a (1-a ) 2 ．