Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，

已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）在区间（0，+∞）上， f′(x)=a- 1 x = ax-1 x ．…（1分） ①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；     …（3分） ②若a＞0，令f ′ （x）=0得x= 1 a ． 在区间（0， 1 a ）上，f ′ （x）＜0，函数f（x）是减函数； 在区间 ( 1 a ，+∞) 上，f ′ （x）＞0，函数f（x）是增函数； 综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间； ②当a＞0时，f（x）的递增区间是 ( 1 a ，+∞) ，递减区间是 (0， 1 a ) ．…（6分） （II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f ′ （1）=0 解得a=1，经检验满足题意．…（7分） 由已知f（x）≥bx-2，则 x-1-lnx x ≥b        …（8分） 令 g(x)= x-1-lnx x =1- 1 x - lnx x ，则 g ′ (x)=- 1 x 2 - 1-lnx x 2 = lnx-2 x       …（10分） 易得g（x）在（0，e 2 ]上递减，在[e 2 ，+∞）上递增，…（12分） 所以g（x） min = g( e 2 )=1- 1 e 2 ，即 b≤1- 1 e 2 ．                   …（13分）