Question

设a1=1，an+1=1+an说明{an}的收敛性，并求极限

设a1=1，an+1=1+an说明{an}的收敛性，并求极限．

Answer 1

【方法一】显然a_n≥1，从而an+1≥

2

，（n=1，2，3，…）．
因为
|an+1?an|＝|

1+an

?

1+an?1

|=

1

1+an + 1+an?1

|an?an?1|≤

1

2

|an?an?1|，（n=2，3，…），
所以{a_n}是压缩数列，
从而{a_n}收敛，
设

lim

n→∞

an＝a，则a≥

2

．
因为an+1＝

1+an

，
令n→∞可得，a＝

1+a

，
从而a²-a-1=0，
注意到a≥

2

，故求解方程可得：a＝

1+ 5

2

．
【方法二】显然a2＝

2

＜2，a₁＜a₂，
由归纳法可证，1≤a_n+1＜2，a_n≤a_n+1，（n=1，2，3，…），
从而{a_n}单调递增且有界，
于是{a_n}收敛．
设

lim

n→∞

an＝a，则a≥1，
在an+1＝

1+an

中令n→∞取极限，
得a＝

1+a

，a²-a-1=0，
所以，a＝

1+ 5

2

．