a1=根号2,an+1=根号(2+an),求证数列{an}收敛,并求其极限

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2019-06-25 · 让梦想飞扬,让生命闪光。
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结果为:lim an=2

解题过程如下:

利用数学归纳法:a1=√2<2

假设当n=k时,ak<2

则n=k+1时,a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2

因此,an<2

再证an单调

a(n+1)-an

=√(2*an)-an

=√an * (√2-√an)

∵an<2

∴a(n+1)-an>0即,an单调递增

单调有界定理,an收敛,设收敛到a,即有lim an=a

a(n+1)=√(2*an)

同取极限,lim a(n+1)=lim √(2*an)

a=√(2*a)

a=2

∴lim an=2

扩展资料

求数列极限的方法:

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:

1.函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-)。

2.函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3.函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等,但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点

terminator_888
推荐于2017-11-25 · TA获得超过8792个赞
知道大有可为答主
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先证an有界
猜想an<2
利用数学归纳法:
a1=√2<2
假设当n=k时,ak<2
则n=k+1时,a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2
因此,an<2

再证an单调
a(n+1)-an
=√(2*an)-an
=√an * (√2-√an)
因为an<2
因此a(n+1)-an>0
即,an单调递增

由单调有界定理,an收敛,设收敛到a
即有,lim an=a
a(n+1)=√(2*an)
同取极限,
lim a(n+1)=lim √(2*an)
a=√(2*a)
a=2

因此,lim an=2
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