Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =a 2 =1，b n =nS n +（n+2）a n ，数列{b n }是公差为d的等差数

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =a 2 =1，b n =nS n +（n+2）a n ，数列{b n }是公差为d的等差数列，n∈N * ．（1）求d的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证： ( a 1 a 2 … a n )?( S 1 S 2 … S n )＜ 2 2n+1 (n+1)(n+2) ．

Answer 1

（1）∵a 1 =a 2 =1，b n =nS n +（n+2）a n ， ∴b 1 =S 1 +3a 1 ，b 2 =2S 2 +4a 2 ， ∴d=b 2 -b 1 =4 （2）∵数列{b n }是公差为4的等差数列，b 1 =4 ∴b n =4n ∵b n =nS n +（n+2）a n ， ∴4n=nS n +（n+2）a n ， ∴ S n + n+2 n a n =4 ① 当n≥2时， S n-1 + n+1 n-1 a n-1 =4 ② ①-②： S n - S n-1 + n+2 n a n - n+1 n-1 a n-1 =0 ∴ a n + n+2 n a n - n+1 n-1 a n-1 =0 ∴ a n a n-1 = 1 2 ? n n-1 ∴ a n a 1 = a n a n-1 ×  a n-1 a n-2 ×… a 2 a 1 = 1 2 n-1 ?n ∵a 1 =1，∴ a n = n 2 n-1 （3）∵ S n + n+2 n a n =4， a n ＞0， S n ＞0 ∴ S n × n+2 n a n ≤ S n + n+2 n a n 2 =2 ∴ 0＜ a n S n ≤4? n n+2 ∴ ( a 1 a 2 … a n )?( S 1 S 2 … S n )≤ 2 2n+1 (n+1)(n+2) ③ ∵n=1， S n ≠ n+2 n a n ∴等号不成立 ∴ ( a 1 a 2 … a n )?( S 1 S 2 … S n )＜ 2 2n+1 (n+1)(n+2)