Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，数列{a n +S n }是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a 2 ，a 3 ；（

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，数列{a n +S n }是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a 2 ，a 3 ；（Ⅱ）证明数列{a n -2}为等比数列；（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式S n -n+1≥λa n 对任意的n∈N * 成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a n +S n }是公差为2的等差数列，∴（a n+1 +S n+1 ）-（a n +S n ）=2， 即 a n+1 = a n +2 2 ，（2分）∵a 1 =1，∴ a 2 = 3 2 ，   a 3 = 7 4 ；（4分） （Ⅱ）证明：由题意，得a 1 -2=-1，∵ a n+1 -2 a n -2 = a n +2 2 -2 a n -2 = 1 2 ，∴{a n -2}是首项为-1，公比为 1 2 的等比数列；（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）得 a n -2=-( 1 2 ) n-1 ，∴ a n =2-( 1 2 ) n-1 ，∵{a n +S n }是首项为a 1 +S 1 =2，公差为2的等差数列，∴a n +S n =2+（n-1）×2=2n，∴ S n =2n-2+( 1 2 ) n-1 ，（9分） 设存在整数λ，使不等式S n -n+1≥λa n 对任意的n∈N * 成立， 即存在整数λ，使不等式 n-1+( 1 2 ) n-1 ≥λ[2-( 1 2 ) n-1 ] 对任意的n∈N * 成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分） 以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式S n -n+1≥λa n 对任意的n∈N * 成立． 当n=2时，不等式化简为 3 2 ≥ 3 2 ，成立； 当n≥3时，∵ ( S n -n+1)- a n =n-3+( 1 2 ) n-2 ＞0 ，∴（S n -n+1）＞a n 成立． 综上，知存在整数λ，使不等式S n -n+1≥λa n 对任意的n∈N * 成立，且λ的最大值为1．（14分）