Question

定义在区间[-23π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=π6对称，当x∈[-23π，π6]时，函数f（x）=Asin

定义在区间[-23π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=π6对称，当x∈[-23π，π6]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-23π，π]的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）=2的解；（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[-2π3，π]上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）x∈[-

2π

3

，

π

6

]，A=2，

T

4

＝?

π

6

?(?

2π

3

)，∴T=2π，ω=1，
且f（x）=2sin（x+φ）过（-

π

6

，2），
∵0＜φ＜π，∴-

π

6

+φ=

π

2

，φ=

2π

3

，
f（x）=2sin（x+

2π

3

），
当

π

6

≤x≤π时，-

2π

3

≤

π

3

?x≤

π

6

，f（

π

3

-x）=2sin（

π

3

-x+

2π

3

）=2sin（π-x）=2sinx，
而函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，则f（x）=f（

π

3

-x），即f（x）=2sinx，

π

6

≤x≤π，
∴f（x）=

2sin(x+ 2π 3 )，x∈[? 2π 3 ， π 6 ] 2sinx，x∈[ π 6 ，π]

；
（Ⅱ）当-

2π

3