Question

问: 已知复数z满足|z|＝1,且z不等于正负i,求证：（z＋i）／（z－i）是纯虚数 高分 高二

问: 已知复数z满足|z|＝1,且z不等于正负i,求证：（z＋i）／（z－i）是纯虚数 高分 高二数学

Answer 1

令z = x+yi
所以x^2 + y^2 = 1
（z＋i）／（z－i）
=[x+(y+1)i]/[x+(y-1)i]
=[x+(y+1)i][x-(y-1)i]/[x^2+(y-1)^2]
分母是实数 只需证明分子是纯虚数即可
分母= x^2-(xy-x)i+(xy+x)i+y^2-1
= 2xi
又因为z不等于正负i 所以x不等于0
所以分母是纯虚数
所以原式是纯虚数

Answer 2

设z=a+bi,则a²+b²=1。（z+1）/（z-1）＝（a+（b+1）i）/（a+（b-1）i）=（a+（b+1）i）（a-（b-1）i）/（a+（b-1）i）（a-（b-1）i）=（a²+b²-1+2ai）/（a²+b²-2b+1）=2ai/（2-2b） 所以是纯虚数

Answer 3

Answer 4