Question

初三二次函数

抛物线y=1/2x方+bx+c 交x轴正半轴于点A 交x轴负半轴于点B 交y轴于点C 且BC⊥AC O为原点 抛物线对称轴为直线x=-2/3 (1)求A B 坐标 （2）抛物线上是否存在点p（点C除外）使S△APB=S△ABC 若存在 求p坐标 若不存在 说明理由

Answer 1

这个题不难，但是不好写，我把思想给你，你自己算吧

首先，A、B两点的很坐标是方程0=1/2x方+bx+c的俩根，可以表示出来
C的纵坐标是c（令方程中想=0得到的）
这三个数的关系，可以利用直角三角形斜边高的射影公式
OC方=OA*OB
这样得到一个关于b，c的方程

首先对称轴为直线x=-2/3，这个加上对称轴的公式可以得到一个关于b，c的方程。

两个方程联立，解出bc就是了。

第二个问题很简单，因为C点不在对称轴上，所以在抛物线上，与C点关于抛物线对称的那个点就是P点

这个很好理解，AB在X轴上,P点的纵坐标就是三角形的高。要面积相同，那么就是高相同，也就是纵坐标相同于是令y=c带入方程，解出y1=0 y2=-2b
P点的坐标（-2b，c）
当然这时候c，b都是已知的。所以都有结果啊

Answer 2

解：
y=x^2/2+bx+c
其对称轴为x=-b/2a=-b=-2/3
得b=2/3
y=x^2/2+2x/3+c与y轴的交点C(0,c)
设该二次函数与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0)
x1+x2=b/a=4/3
x1x2=c/a=2c<0
BC⊥AC,CO⊥x轴
CO^2=AO*BO(直角三角形里的经验，可用相似三角形证明)
c^2=lx1x2l=l2cl
c^2=-2c
c(c+2)=0
c=-2或0(舍)
y=x^2/2+2x/3-2
y=0时
x^2/2+2x/3-2=0
3x^2+4x-12=0
x1=(-2+2√10)/3,x2=(-2-2√10)/3
A((-2+2√10)/3,0)B((-2-2√10)/3,0)
(2)设存在P点符合条件
令P(x,x^2/2+2x/3-2）
S△ABC=S△APB
两三角形同底，面积相等即要求高相等
lx^2/2+2x/3-2l=lcl=2
x^2/2+2x/3-2=2或-2
x^2/2+2x/3-2=2
3x^2+4x-24=0
x=(-2+2√19)/3或(-2-2√19)/3
x^2/2+2x/3-2=-2
3x^2+4x=0
x(3x+4)=0
x=-4/3或0(舍)
所以符合条件的P有三个点
分别为p1((-2+2√19)/3,2),P2（(-2-2√19)/3,2)，P3（-4/3,-2）

(楼主检查下吧，可以使用这个思路~~)