Question

A,B,C,D空间四点，在三角形ABC中，AB=2，AC=BC=根号2，等边三角形ADB以AB为轴

A,B,C,D空间四点，在三角形ABC中，AB=2，AC=BC=根号2，等边三角形ADB以AB为轴转动。1.当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； 2.当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的

Answer 1

（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB。当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面 平面ABC=AB，所以DE平面ABC，可知DE⊥CE由已知可得 ，在Rt△DEC中， （Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC⊥BC，所以AB⊥CE又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由 平面CDE，得AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD