Question

设x=3是函数f（x）=（x^2+ax+b）e^（3-x），（x属于R）的一个极值点。 （1）求a

设x=3是函数f（x）=（x^2+ax+b）e^（3-x），（x属于R）的一个极值点。
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间
（2）设a>0，g（x）=（a^2+25/4）e^x，若存在S1，S2属于【0，4】，使|f（S1）-g（S2）|<1成立，求a的取值范围

Answer 1

(1)∵x=3是函数f（x）=（x^2+ax+b）e^（3-x），（x属于R）的一个极值点

∴f'(3)=(2*3+a)e^0-(9+3a+b)e^0=0
6+a-9-3a-b=0
b=-2a-3
令 f'(x)=(2x+a-x^2-ax-b)e^(3-x)>0
-x^2+(2-a)x+3a+3>0
△=a^2-4a+4+12a+12=a^2+8a+16=(a+4)^2>=0
当x∈((2-a)/2-|a+4|/2,(2-a)/2+|a+4|/2) 时，函数单调递增
令 f'(x)<0得，当x∈(-∞，(2-a)/2-|a+4|/2）或 x∈（(2-a)/2+|a+4|/2，+∞) 时，函数单调递减。
（2）f(x)的极值点为: x=3, 极值为：f(3)=9+3a+b=6+a f(0)=(-2a-3)e^3 f(4)=(13+2a)e^(-1)
max(f(x))=6+a min(f(x))=(-2a-3)e^3
g'(x)>0 递增 min(g(x))=g(0)=a^2+25/4 max(g(x))=g(4)=(a^2+25/4)e^4
-1<a^2+25/4-(-2a-3)e^3<1 且 -1<(a^2+25/4)e^4-a-6<1
-e^3+1/2√(4*e^6-29-12e^3)<a< -e^3+1/2√(4e^6-21-12e^3)
后一不等式组无解，所以a不存在。