Question

已知函数f（x）=mx/x^2+n(m,n属于R),在x=1处取得极值2，设函数g（x）=x^2-

已知函数f（x）=mx/x^2+n(m,n属于R),在x=1处取得极值2，设函数g（x）=x^2-2ax+a,若对于任意的x1属于R，总存在x2属于[-1,1]使得g（x2）<=f（x1），求实数a的取值范围

Answer 1

将 x=1 代入 f(x)：f(1)=m/(1+n)=2；
因为 x=1 处函数有极值，所以 f'(1)=(mn-m*1²)/(1²+n)²=0，化简得 n=1；代入前式得 m=4；
所以 f(x)=4x/(x²+1)；且当 x→±∞，lim{f(x)}→0；除 f(1)=2 外，另有一极值 f(-1)=-2；
若 g(x) 在 x2∈[-1,1] 上的最小值不大于 f(x) 在 x1∈R 上的最小值 2，那么 g(x2)≤f(x1) 成立；
所以应有 g(x)=x²-2ax+a=(x-a)²+a-a²≤-2，（x∈[-1,1]）；
即最小值 a-a²≤-2，解不等式得 -1≤a≤2；

Answer 2

f′（x）=
-4(x2-1)
(x2+1)2
，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x）的最小值为-2（10分）∵对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1）∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a2
由a-a2≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．