Question

已知函数f(x)=x(x-m)²+1(m∈R)在x=1处有极大值.求m的值

(2)求f(x)在区间［1/2,5］上的值域

Answer 1

f′(x)=(x-m)(3x-m)，令f′(x)=0，得x=m或x=m/3，
而已知函数f(x)=x(x-m)²+1(m∈R)在x=1处有极大值，故只能x=m=1或x=m/3=1，即m=1或者m=3，而f″(x)=6x-4m，则
(1) 当m=1时，在x=1处，f″(1)=2>0，x=1处f(x)只能取得极小值，与条件矛盾！
(2) 当m=3时，在x=1处，f″(1)=-6<0，x=1处f(x)取得极大值，满足条件。
故 m=3.

(2) 由(1)可知，x=1与x=3为函数驻点，故
f(1/2)=33/8，f(1)=5，f(3)=1，f(5)=21，
故所求值域为 [1，21]。