Question

设函数f（x）=x|x-1|+m.当m>1时，求函数y=f（x）在【0，m】上的最大值。

Answer 1

x>=1, f(x)=x^2-x+m=(x-1/2)^2+m-1/4, 开口向上，对称轴为x=1/2,因此最大值为f(m)=m^2
x<1, f(x)=-x^2+x+m=-(x-1/2)^2+m+1/4, 开口向下，对称轴为x=1/2, 因此最大值为f(1/2)=m+1/4
因此需比较m^2, m+1/4的大小
m^2-m-1/4=0--> m=(1+√2)/2, (1-√2)/2，由于需m>1,所以有：
当m>=(1+√2)/2时， 最大值为m^2
当1<m<=(1+√2)/2, 最大值为m+1/4

Answer 2

x∈[0, 1]时；
f（x）=x|x-1|+m = x-x²+m = -(x-½)²+m+¼,此时当x=½,f最大 = m+¼；
x∈(1,m]时；
f（x）=x|x-1|+m = x²-x+m = (x-½)²+m-¼,此时当x=m,f最大 = m²；

比较两个最大值，m²-(m+¼) = (m-½)²-½>0;得到m>(1+√2)/2;
最后总结：

当m∈( 1, (1+√2)/2 ] 时，f最大 = m+¼;
当m∈( (1+√2)/2 ,∞ ] 时，f最大 = m²;