Question

数学题一道，求详细解答过程

已知a，b ，c都是整数 如果对任意整数x，代数式ax²+bx+c的值都能被3整除。证明：abc可被27整除

Answer 1

因为代数式ax²+bx+c的值都能被3整除
所以ax²/3、bx/3、c/3为整数
因为x为任意整数
所以a/3、b/3、c/3为整数
所以abc/27=(a/3)*(b/3)*(c/3) 为整数

Answer 2

将x=o带入原式，得c能被3整除
将x=1带入原式得 （1）式
将x=-1带入原式得 （2）式
（1）-（2）得b能被3整除
再根据（1）得a能被3整除
所以abc能被27整除

Answer 3

证明：因为对任意整数x，代数式ax²+bx+c的值都能被3整除，
所以可判断必须满足a，b ，c都能被3整除，
因此可得出abc可被27整除。

追问

为什么可以得到a，b ，c都能被3整除，能在解释一下吗？

追答

对任意整数x，代数式ax²+bx+c的值都能被3整除，
所以代数式ax²+bx+c的每一项必须都能被3整除，
即ax²能被3整除，而X为任意数，所以a必能被3整除
同理，b、c也能被3整除