Question

关于线性代数齐次方程组中自由变量的问题: 急求亲们解答。

Answer 1

题目中最后有笔误，应为“就可以取 x2， x4 为自由未知量呢？”
因齐次方程组的系数矩阵 A ，实际就是 5 个列向量组成的向量组，
向量组的秩为 r(A)=3, 则最大无关组由 3 个向量组成。
但最大无关组并不唯一，可以是 x1, x3, x4, 也可以是x1, x3, x5，
还可以是 x2, x3, x4, 或 x2, x3, x5,
总之是 x1, x2 中取1个， x4，x5 中取1个，与 x3 组成最大无关组。
无关组之外的向量可以用无关组线性表示，故可作自由未知量。
所以当 |x1, x3, x5| ≠ 0, 得 x1, x3, x5 线性无关时，
就可以取 x2， x4 为自由未知量。

追问

老师，你说总之后面，x1.x2之间任取一个，x4.x5之间任取一个，有点没弄懂，能在说清楚点吗？

谢谢

追答

关键你要懂得最大无关组的概念和求法，教科书上都有的，
向量组经过行初等变换化为你给的阶梯型矩阵，
每个非零行左边第1个非零元素叫“主元”，
这里是1, 1, 2， 它们所在的列即第 1, 3, 4 列的 x1, x3, x4
是一个极大无关租。 这一点你必须搞懂并会做。
下面能否理解就不是那么必要了：
最大线性无关组所含向量个数一定，本题是3，但取哪3个不唯一，
除 x1, x3, x4 之外，还可以另外取。
然而取了x1，就不能再取 x2， 取了x4，就不能再取 x5，
因为若无 x1，x4，则 -1， -3 也可看作“主元”，
即 x2, x3, x5 也是一个最大线性无关组。

追问

最大线性无关肯定懂得！你的意思就是说就是比如x1是第一个非零行的第一个非零元，如果不取它，就可以去第一个非零行的第二个非零元，反正就是如果你不想去每一个非零行的第一个非零元的话，就可以去第二个非零元，对吧？

追答

也还不是。例如 x3 你不取，取 x4 就错了。
通俗说吧，化成阶梯型后 x1, x2 后两个分量都是零， 最大无关租中只会取1个；
x4, x5 没有相同位置的分量同为零， 最大无关租中也只会取1个。

追问

谢谢了，知道了。感觉，通常情况下来做，简单，

老师，你看x4与x5之间是线性无关的，为什么，取了x4就不能取x5了呢？

追答

因 r(A)=3， 已必须取了 x1, x2 中之一个和 x3，只能再取 x4，x5 中之一个。

追问

谢谢，懂了！