Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；（2）求证：PD∥平面EAC．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
∵BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．         
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC＝

π

4

，
∴∠DCA＝∠BAC＝

π

4

．
又∵AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC＝

2

AC＝

2

(

2

AB)＝2AB．
连接BD，交AC于点M，则由AB∥CD得：

DM

MB

＝

DC

AB

＝2．
在△BPD中，

PE

EB

＝

DM

MB

＝2，所以PD∥EM
又∵PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．