Question

（2010?绵阳三模）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C与底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60°，AB=AC，M是B

（2010?绵阳三模）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C与底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60°，AB=AC，M是B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1CM；（Ⅱ）若AB1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角B-AC-B1的大小．

Answer 1

解：（I）证明：如图，连接AC₁，交A₁C于N，连接MN．
∵M是中点，N是AC₁的中点，
∴MN∥AB₁．
∵MN?平面A₁CM，
∴AB₁∥平面A₁CM．
（II）作BC的中点O，连接AO、B₁O．
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直，
∴AO⊥面BB₁C₁C，
∴∠AB₁O是AB₁与平面BB₁C₁C所成的角，即∠AB₁O=45°，从而AO=B₁O．
又∵BB₁=BC，∠B₁BC=60°，
∴△B₁BC是正三角形，所以B₁O⊥BC．
以O为原点，分别以OB、OB₁、OA为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
设OA=a，则A（0，0，a），B₁（0，a，0），C（?

3

3

a，0，0），O（0，0，0），
∴

AC

＝(?

3

3

a，0，?a)，

AO

＝(0，0，?a)，

AB1

＝(0，a，?a)．
∵OB₁⊥平面ABC，故

OB1

是平面ABC的一个法向量，设为n₁，
则n₁=

OB1

＝(0，a，0)，
设平面AB₁C的法向量