Question

已知函数f（x）=log2x，x＞02x，x≤0，若函数g（x）=f（x）-kx有零点，则实数k的取值范围是（　　）A．（

已知函数f（x）=log2x，x＞02x，x≤0，若函数g（x）=f（x）-kx有零点，则实数k的取值范围是（　　）A．（-∞，+∞）B．[1eln2，+∞）C．（-∞，1eln2]D．（-∞，1）

Answer 1

解答：解：函数f（x）=

log2x，x＞0 2x，x≤0

，
画出f（x）的图象，
函数g（x）=f（x）-kx有零点，
即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，
作出直线y=kx，
由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，
设直线y=kx与曲线y=log₂x相切的切点
为p（m，n），由于（log₂x）′=

1

xln2

，即切线的斜率为

1

mln2

=k，
又n=km，n=log₂m，解得m=e，k=

1

eln2

，
则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k≤

1

eln2

，
综上，可得实数k的取值范围是：（-∞，

1

eln2

]．
故选C．