Question

在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a 2n＝an?1an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an；（II）若

在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a 2n＝an?1an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an；（II）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn；（III）求证：1a1+12a2+13a3+…+1nan＜34．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：在数列{a_n}中，∵当n≥2时，a

2 n

＝an?1an+1，∴数列{a_n}为等比数列，
又∵a₁=2，a₂=4，∴公比q＝

a2

a1

＝

4

2

＝2．
∴数列{a_n}的通项公式为an＝a1qn?1＝2×2n?1＝2n；
（Ⅱ）解：由b_n=（2n-1）a_n，an＝2n，得bn＝(2n?1)?2n．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）?2ⁿ  ①．
2Sn＝1×22+3×23+5×24+…+(2n?3)?2n+(2n?1)?2n+1   ②．
①-②得：?Sn＝1×2+2(22+23+…+2n)?(2n?1)?2n+1
=2+2×

4(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)?2n+1
=2-8（1-2^n-1）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺²-n?2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹．
∴Sn＝(2n?3)?2n+1+6；
（Ⅲ）证明：∵

1

nan

＝

1

n?2n

＜

n+1

n(n?1)2n

＝

1

(n?1)2n?1

?

1

n?2n

（n≥2），
∴

1

a1

+

1

2a2

+

1

3a3

+…+

1

nan

＜

1

1×2

+

1

2×4

+(

1

2×22

?

1

3×23

)+(

1

3×23

?

1

4×24

)+…+(

1

(n?1)2n?1

?

1

n?2n

)
=

1

2

+

1

8

+

1

8

?

1

n?2n

＜

1

2

+

1

4

＝

3

4

．