Question

已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，DC＝12BC，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求

已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，DC＝12BC，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证法一：取边BC的中点E，连接ME．
∵M是边AB的中点，
∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．
∴∠MEC=∠NCD．
∵CD＝

1

2

BC，∴CD=CE．
∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．
∴△MEC≌△NCD．
∴CM=DN．
又∵CM∥DN，
∴四边形MCDN是平行四边形．
∴MN∥BC．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．
∵CD＝

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2

BC，CD=DF，
∴BC=CF．
∵BM=AM，
∴MC∥AF．
∵MC∥DN，
∴ND∥AF．
又∵CD=DF，
∴CN=AN．
∴MN∥BC．

（2）答：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．
证明：∵MN∥BD，BM与DN不平行，
∴四边形BDNM是梯形，
∵∠ACB=90°
M是边AB的中点，
∴BM=AM，
∵CM是Rt△ABC的中线，
∴CM=BM=AM，
∵CM=DN，
∴BM=DN，
∴四边形BDNM是等腰梯形．

Answer 2

（1）证法一：取边BC的中点E，连接ME．∵M是边AB的中点，∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．∴∠MEC=∠NCD．∵CD＝12BC，∴CD=CE．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．∴CM=DN．又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．∴MN∥BC．证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．