Question

（本小题满分12分）已知：函数y＝f (x)的定义域为R，且对于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，

（本小题满分12分）已知：函数y＝f (x)的定义域为R，且对于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且当x＞0时，f (x)＜0恒成立．证明：（1）函数y＝f (x)是R上的减函数．（2）函数y＝f (x)是奇函数．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析。

试题分析：（1）设x 1 ＞x 2 ，则x 1 －x 2 ＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)， 所以f (x 1 )＝f (x 1 －x 2 ＋x 2 )＝f (x 1 －x 2 )＋f (x 2 )＜f (x 2 )， 即f (x 1 )＜f (x 2 )，所以函数在R上是减函数．                   ……6分 （2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0， 所以f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数．                    ……12分 点评：本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义，其中利用“凑配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的关键．