Question

如图所示，在坐标系xOy内有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心O1坐标为（0，R），磁感应强度大小为B，方

如图所示，在坐标系xOy内有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心O1坐标为（0，R），磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．在虚线x=R的右侧区域内，有一场强大小为E，沿x轴负方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，以速度v从O点垂直于磁场方向射入圆形磁场区域，不计粒子重力．（1）若速度v方向沿y轴正方向时，粒子恰好从坐标为（R，R）的A点射出磁场，求粒子射入磁场时速度v的大小；（2）若粒子仍以速度v沿与y轴正方向夹角θ=30°方向从O点射入第二象限（如图所示），求粒子第一次离开磁场时速度方向及出射点P（图中未画出）到y轴的距离xP；（3）求在（2）问中粒子从射入磁场到最终离开磁场所通过的路程s．

Answer 1

（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动qvB＝m

v2

r

…①
由几何关系得r=R… ②
由①②得v＝

qBR

m

…③
（2）如图所示，粒子射入磁场后，在磁场中以O₂为圆心做匀速圆周运动，从P第一次射出磁场，图中OO₂ PO₁是边长为R的菱形，PO₂平行于y轴，故粒子射出磁场后速度沿x轴正方向．
由几何关系得θ₁=120°
  所以xP＝Rsin60°＝

3

2

R…④
（3）粒子从O运动到P的路程s1＝

θ1

360°

2πR…⑤
粒子从离开磁场到进入电场的路程s₂=R-x_P …⑥
粒子在电场中先匀减速运动到速度为零，然后反向匀加速回来，
a＝

qE

m

…⑦
s3＝

v2

2a

…⑧
粒子再次射入磁场后，在磁场中以O₃为圆心做匀速圆周运动直到离开磁场
由几何关系得θ₂=60°
故s4＝

60°

360°

2πR…⑨
s=s₁+2s₂+2s₃+s₄ …⑩
由③～⑩解得：s＝(2+π?

3

)R+

qB2R2

mE

答：（1）若速度v方向沿y轴正方向时，粒子恰好从坐标为（R，R）的A点射出磁场，粒子射入磁场时速度v＝

qBR

m

；
（2）若粒子仍以速度v沿与y轴正方向夹角θ=30°方向从O点射入第二象限（如图所示），粒子第一次离开磁场时速度方向及出射点P（图中未画出）到y轴的距离xP＝Rsin60°＝

3

2

R；
（3）求在（2）问中粒子从射入磁场到最终离开磁场所通过的路程s＝(2+π?

3

)R+

qB2R2

mE