Question

（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形

（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=______，△EFC的面积S1=______，△ADE的面积S2=______．探究发现（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．拓展迁移（3）如图，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

Answer 1

（1）解：S=6，S₁=9，S₂=1；

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴

S2

S1

=(

DE

FC

)2=

a2

b2

，
∵S1=

1

2

bh，
∴S2=

a2

b2

×S1=

a2h

2b

，
∴4S1S2=4×

1

2

bh×

a2h

2b

=(ah)2，
而S=ah，∴S²=4S₁S₂；

（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面积为5+3=8，
由（2）得，?DBHG的面积为2

2×8

=8，
∴△ABC的面积为2+8+8=18．
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）

Answer 2

（1）解：S=6，S₁=9，S₂=1；

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴

S2

S1

=(

DE

FC

)2=

a2

b2

，
∵S1=

1

2

bh，
∴S2=

a2

b2

×S1=

a2h

2b

，
∴4S1S2=4×

1

2

bh×

a2h

2b

=(ah)2，
而S=ah，∴S²=4S₁S₂；

（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面积为5+3=8，
由（2）得，?DBHG的面积为2

2×8

=8，
∴△ABC的面积为2+8+8=18．
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）