Question

如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.（1）求证：△ABD∽△AEB；

如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长.

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC， ∴. ∴∠ABC=∠ADB.                   又∠BAE=∠DAB， ∴ △ABD∽△AEB.        （2）解：∵△ABD∽△AEB， ∴ . ∵ AD=1， DE=3， ∴AE=4.    ∴ AB 2 =AD·AE=1×4=4. ∴ AB="2." ∵ BD是⊙O的直径， ∴∠DAB=90°. 在Rt△ABD中，BD 2 =AB 2 ＋AD 2 =2 2 ＋1 2 =5， ∴BD= .

（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论； （2）由（1）的结论就可以推出AB的长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度．