Question

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）①连结AB，则AB与x轴的位置关系是______；②在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO；（4）点E为线段OB上一动点，过点EF∥y轴，交x轴于点H，交抛物线于点F，EF是否有最大值？如有直接出点E的坐标及最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）过点A作AM⊥x轴于点M，作BN⊥x轴于点N，
则∠OAM=∠BON（都是∠AOM的余角），
∴△OAM∽△BON，
又∵∠AMO=∠ONB=90°，
∴△OAM∽△BON，
∴

AM

ON

=

OM

BN

=

AO

OB

=

1

2

，
∴ON=2AM=4，BN=2OM=2，
∴点B的坐标为（4，2）；

（2）设过点A、O、B三点的抛物线解析式为y=ax²+bx，
将点A、B的坐标代入可得：

a?b＝2 16a+4b＝2

，
解得：

a＝ 1 2 b＝ 3 2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x；

（3）①∵AM=BN，
∴AB与x轴平行；
②∵S_△ABP=S_△ABO，
∴点P到AB的距离等于点O到AB的距离，
∴点P的纵坐标为0或4，
①当点P的纵坐标为0时，点P与点C重合，
此时点P的坐标为（

1

2

，0）；
②当点P的纵坐标为4时，

1

2

x²-

3

2

x=4，
解得：x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3? 41

2

，
∴点P的坐标为（

3+ 41

2

，4）或（

3? 41

2

，4）．
综上可得点P的坐标为（

1

2

，0），（

3+ 41

2

，4），（

3? 41

2

，4）时，使得S_△ABP=S_△ABO；

（4）设直线OB的解析式为y=kx，
将点B的坐标代入得：2=4k，
解得：k=

1

2

，
∴OB的解析式为y=

1

2

x，
设点E的坐标为（x，

1

2

x），则点F的坐标为（x，

4

3

x²-

2

3

x），
则EF=

1

2

x-（

4

3

x²-

2

3

x）=-

4

3

x²+

8

3

x=-

4

3

（x-1）²+

4

3

，
∴当x=1时，EF取得最大值，
此时点E的坐标为（1，2）．