Question

已知数列{an}是等比数列，且a1+a2+a3=-6，且a1?a2?a3=64，（|q|＞1）（1）求{an}的通项公式；（2）令bn=

已知数列{an}是等比数列，且a1+a2+a3=-6，且a1?a2?a3=64，（|q|＞1）（1）求{an}的通项公式；（2）令bn=（2n+1）?an，求数列{bn}的前n项和的公式．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公比为q，则有
a₁（1+q+q²）=-6     ①
a13×q³=64          ②
由②式可得a₁=

4

q

代入①式
可得q=-2或者-

1

2

（|q|＞1故舍去）
所以求得a₁=-2．
故{a_n}的通项公式a_n=a₁q^n-1=（-2）ⁿ．
（2）b_n=（2n+1）?a_n=（2n+1）（-2）ⁿ
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3×（-2）+5×（-2）²+7×（-2）³+9×（-2）²+…+（2n+1）（-2）ⁿ …③
（-2）×S_n=3×（-2）²+5×（-2）³+7×（-2）⁴+9×（-2）⁵+…+（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹…④
③-④得
3S_n=3×（-2）+2×（-2）²+2×（-2）³+2×（-2）⁴+2×（-2）⁵+…+2×（-2）ⁿ-（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹
=-6+2×[（-2）²+（-2）³+（-2）⁴+（-2）⁵+…（-2）ⁿ]-（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹
=-6+2×

4(1?(?2)n?1)

1+2

-（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹
=-

10

9

-

8(?2)n?1

9

-

(2n+1)(?2)n+1

3

=?

10

9

?

(6n+5)(?2)n+1

9

故S_n=?

10

9

?

(6n+5)(?2)n+1

9

．