Question

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin C-A 2 +cos C

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin C-A 2 +cos C+A 2 的值是（　　） A．1 B． 1 2 C． 1 3 D．-1

Answer 1

∵S △ABC = 1 2 acsinB= 1 2 b（a-c）， ∴acsinB=b（a-c）， 利用正弦定理化简得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC）， ∵sinB≠0， ∴sinA-sinC=sinAsinC， ∴2cos C+A 2 sin C-A 2 = 1 2 [cos（A-C）-cos（A+C）]， 又cos（A-C）=1-2sin 2 A-C 2 ，cos（A+C）=2cos 2 A+C 2 -1， ∴（sin C-A 2 +cos C+A 2 ） 2 =sin 2 A-C 2 +2sin C-A 2 +cos C+A 2 +cos 2 A+C 2 = 1 2 [1-cos（C-A）]+ 1 2 [cos（C-A）-cos（A+C）]+ 1 2 [1+cos（C+A）]=1， ∵c-a＞0，∴C＞A， ∴0＜ C-A 2 ＜90°， ∴sin C-A 2 ＞0， 又 C+A 2 =90°- B 2 ，且0＜90°- B 2 ＜90°， ∴cos C+A 2 ＞0， ∴sin C-A 2 +cos C+A 2 ＞0， 则sin C-A 2 +cos C+A 2 =1． 故选A