Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）， ，（Ⅰ）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0

已知函数f（x）=ax 2 +bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）， ，（Ⅰ）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞)，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0？

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0， 因为f（x）的值域为[0，+∞)， 所以 ， 所以 ，解得b=2，a=1， 所以 ， 所以 ； （Ⅱ）因为 ， 所以当 时g（x）单调， 即k的范围是 时，g（x）是单调函数； （Ⅲ）因为f（x）为偶函数，所以 ， 所以 因为mn＜0， 依条件设m＞0，则n＜0， 又因为m+n＞0， 所以m＞-n＞0，所以|m|＞|-n|， 此时 ， 所以 。