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1+4+9+.......+n ^2的通项公式推理过程
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由1²+2²+3²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6
∵(a+1)³-a³=3a²+3a+1(即(a+1)³=a³+3a²+3a+1)
a=1时:2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时:3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时:4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时:5³-4³=3×4²+3×4+1
。。。。。。
a=n时:(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加:
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+。。。+n²)+3(1+2+3+。。。+n)+(1+1+1+。。。+1)
3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+2+3+。。。+n)-(1+1+1+。。。+1)
3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+n)×n÷2-n
6(1²+2²+3²+。。。+n²)=2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
∵(a+1)³-a³=3a²+3a+1(即(a+1)³=a³+3a²+3a+1)
a=1时:2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时:3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时:4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时:5³-4³=3×4²+3×4+1
。。。。。。
a=n时:(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加:
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+。。。+n²)+3(1+2+3+。。。+n)+(1+1+1+。。。+1)
3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+2+3+。。。+n)-(1+1+1+。。。+1)
3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+n)×n÷2-n
6(1²+2²+3²+。。。+n²)=2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
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2024-04-11 广告
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