Question

已知如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．（1）求证：AC=BE；（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度数

已知如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．（1）求证：AC=BE；（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度数．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形， ∴∠ADB=∠CDE=60°，AD=BD，CD=DE． ∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE，即∠ADC=∠BDE． ∴△ADC≌△BDE． ∴AC=BE． （2）∵△DCE是等边三角形， ∴DE=CE，又∵BE⊥DC， ∴F为DC的中点（三线合一）， ∴BE是CD的中垂线． ∴DB=CB．又△ABD是等边三角形， ∴AB=DB=BC， ∴△ADC是直角三角形（三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角为直角）， ∵∠A=60， ∴∠BDC=∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°．